高三数学总复习——抽象函数 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 初等函数模型 抽象函数性质 正比例函数 一次函数 幂函数 二次函数（a≠0）
f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数 对数函数 或f(xm)=mf(x) 余弦函数 正切函数 下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。）
一．以正比例函数为模型的抽象函数 正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。
例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数 的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴， ∵， ∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则， 再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0）， ∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数， ∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。
二、以一次函数为模型的抽象函数 一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。
例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则， 即，∴f（x）为单调增函数。
∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
三、以幂函数为模型的抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。
例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1）， ∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x）， ∴ f（x）为偶函数。
（2）设，∴，， ∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2）， 故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，又，故。
四、二次函数型的抽象函数 例4.定义在的函数满足，，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9 解：法一;设函数为，由得到，又由，，知，；
法二：所以 法三：
5、以指数函数为模型的抽象函数 由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。
例5、已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1 （1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性 分析：由可知f（x）是指数函数的抽象函数，从而可猜想 解：（1）对于一切、∈R，且(0)≠0 令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-) ＞1 又(0)=(-)= =1 ∴= ＞1∴0＜＜1 （2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且 ＞1 ∴， ∴f(x)在R上为单调减函数 六、以对数函数为模型的抽象函数 由对数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。
例6、已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1， （1）证明：(1)=0；
(2)求(16)；
（3）若+ (-3)≤1，求的范围；
（4）试证()=（n∈N）
分析：由 可知f（x）是对数函数 的抽象函数， 解:（1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0 （2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2 (3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4) 在（0，+∞）上单调递增 ∴ ∴ ∈（3，4] （4）∵ ∴ 例7、设f (x)是定义在R+上的增函数，且f (x)=+ f (y)，若f (3)=1，，求x的取值范围。
分析：由f (x)=+ f (y) 可知f（x）是对数函数的抽象函数 解：∵f(3)=1 ∴ f (3)+ f (3)=2 ∴f ()+f (3)= f (9) =2 ∵f (x)=+ f(y) 即f (x)- f(y)= ∴ ∴f [x(x-5)]> f (9) ∵f (x)是定义在R+上的增函数 ∴ 解得：
七、以三角函数为模型的抽象函数 如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；
而满足f（x+y）的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想。
例8、设函数满足，且()=0，、∈R；
求证：为周期函数，并指出它的一个周期。
分析：由和=2coscos知，本题应是以余弦函数为模型的函数 解：令=+，= 则=0 ∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。
例9、已知函数满足，若，试求(2005)。
分析：由和(+)=可知，本题应是以正切函为模型的函数 解∵==- ∴(+4)= ∴是以4为周期的周期函数 又∵f(0)=2004 ∴===- ∴f(2005)=- 综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象—具体—抽象”的模型化思考方法，借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息，可使抽象函数问题顺利获解。
练习：
1、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ B ）
A . 2005 B. 2 C.1 D.0 提示：先令 2. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ ）
3. 。（2000）
4．对任意整数函数满足：，若，则（c ）
A.-1 B.1 C. 19 D. 43 5.定义在的函数满足，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9 6．设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值. 7.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， （1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）解不等式 高三数学总复习——函数的周期性与对称性 （同号看周期，异号看对称）
编号 周 期 性 对 称 性 1 →T=2 →对称轴Û是偶函数；
→对称中心（a,0）Û是奇函数 2 →T= →对称轴；
→对称中心；
3 f(x)= -f(x+a)→T=2 f(x)= -f(-x+a)→对称中心 4 →T=2 →对称中心 5 f(x) +f(-x+a)= b→对称中心 7 →T=6 8 →T=2 结论(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4）
应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；
y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 练习题 一、选择题：
1、已知是上的增函数，若令，则是上的（ ）
A．减函数 B．增函数 C．先减后增的函数 D．先增后减的函数 2、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 的图象关于直线对称，则的值为 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．不能确定 3、定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为（ ）
A．恒大于零 B．恒小于零 C．可能为零 D．可正可负 4、已知函数对于任意，有，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D． 二、填空题：
5、若函数满足，且对任意都有 ，则 。
6、定义在上的函数的图象关于点中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为 。
7、函数对于任意实数满足条件，若则__________。
8、若，则（1）函数的一个周期为 ；
（2）函数的一个周期为 . 9、若函数则的值为 。
三、解答题：
10、已知函数对任意非零实数都有，且时,。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）求函数在上的值域；
（3）解不等式。
11、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明的你的结论；
（3）设,若,试确定的取值范围；
（4）试举出一个满足条件的函数。
12. (2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0. 求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；
（Ⅱ）
解:(1)易证f(x)是奇函数。
（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 参考答案（仅供参考）
一、选择题：
1 解：（1）特例：满足条件的函数，如；
（2），是将函数的图象关于轴对称，再右移一个单位得到，单调递减，是将函数向左移动一个单位得到，在关于轴对称，单调递减，故选。
2、解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 关于点（1，0）对称. 因此，关于（0，1）对称 即 故 3、解：有，知中有一个小于2，一个大于2，不妨设，又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以，所以，故选。
4、解：，， 二、填空题：
5、解：（1）令 再令， （2）令，略。
6、解：由函数的图象关于点中心对称，得， 又由，所以， 为偶函数 ， 令，由，得；
令，由，得， 7、解：由，得, 8、解：，把2x-3看成函数的自变量， 则得函数的一个周期为9；
所以，函数的一个周期为. 9、解：
三、解答题：
10、解：（1）令 再令 令，得 为偶函数 （2）
又 且在上是单调递增函数 解得 故不等式的解集为 11、解：（1）令 （2）任取 令 令 （或）
函数在上单调递减。
（4）如 函 数 图 象 变 换 一 览 表 平移 横向 纵向 伸缩 横向 纵向 对 称 中心对 称 两条曲 线 即与关于点对称 一条曲 线 若，则关于点对称 轴 对 称 斜率为1 点 点 斜率为-1 点 点 一条曲线 若对满足,则关于直线对称 注:由求得 两条曲线 函数与函数关于直线对称 注:由解得 对 称 轴 对 称 两条 曲线 与关于对称 与关于轴对称 与关于轴对称 与关于对称（反函数内容酌情！）
与关于原点对称 翻 折 是保留轴上方图像，并将轴下方图像向上翻折所得；
（因为y≥0）
是保留轴右方图像，并将其向左翻折所得（为偶函数）
一、填空：
1、平移（）
向左平移个单位所得的函数为 ；
向右平移个单位所得的函数 向上平移个单位所得的函数 ；
向下平移个单位所得的函数 2、对称 （1）两个函数的对称 与关于 对称；
与关于 对称；
与关于 对称；
与关于 对称；
与关于 对称；
与关于 对称。
（2）函数自身的对称 若，则关于 对称；
若，则关于 对称；
二、例题：
1． （1）为奇函数，当时，，若的图像向左平移一个单位得，求的解析式。
（2）若的图像向右平移二个单位，向下平移一个单位，得到函数，求。
2． （1）描述的图像经过怎样的变化得到和。
（2）描述的图像经过怎样的变化得到，并求出的对称中心。
（3）描述的图像经过怎样的变化得到和。
3． （1）将函数的图像按平移得到的图像，求。
（2）若函数的图像按平移得到，求。
4． 图像经平移或翻转后仍不能与的图像重合的是 （ ）
A． B. C. D. 5．根据，作出、、、的图像。
6．（1），求关于对称的函数。
（2）求的对称轴和对称中心。
7．若对任何实数都成立，则的图像 （ ）
A．关于直线对称 B. 关于直线对称 C．关于点对称 D. 关于点对称 8 .分别求(1) (2)的单调增区间。
9.分别画出函数和的图像。
10 .把函数的反函数图像向右平移2个单位就得到曲线，函数的图像与曲线C关于直线成轴对称，求。
三、巩固练习 1、函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为 。
2、直线与直线关于直线对称，则_______，_______。
3、已知函数的对称中心是，则 。
4、设函数的图像关于直线对称且时，有，则当时，的解析式为 。
5、设函数的图象关于直线对称，则 。
6、定义在上的函数满足条件：不是常数函数，且与对任意成立，则对于下述命题中：
（1）是周期函数；
（2）的图像关于直线成轴对称；
（3）的图像关于轴成轴对称；
（4）的图像关于原点成中心对称。
正确命题的序号是 。
7、定义在上的函数，对任何都有，这个函数的图象的几何特征是 （ ）
关于原点对称 关于轴对称 关于点对称 关于点对称 8、函数的图象向左平移个单位得图象，再将向上平移一个单位得图象，关于直线的对称图象是，则的解析式为 （ ）
9、已知图①中的图象对应的函数，则图②对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是 （ ）
10、函数的图象大致是 （ ）
11、设函数。（1）作出在区间上画出函数的图像；
12、设是定义在上的偶函数，它的图像关于直线对称，已知时，，求当上的解析式。
13、已知函数 （1）求的单调区间；
（2）若直线与有四个交点，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程解的情况。
参考答案：
一、 略 二、 例题答案 1（1）；
（2）。
2（1）向左1，向下2；
向右，向上；
（2）向左2，向上3；
（3）向左；
向左。
3 （1）；
（2）。
4 B；
5 略；
6（1）；
（2），。
7 C；
8 （1）
和；
（2）
和。
9 略；
10 。
三、巩固练习答案 1、；
2、；
3、0；
4、；
5、；
6（1）（2）（3）；
7、D；
8、B；
9、C；
10、A；
11、略；
12、；
13、（1）和增，和减；
（2）；
（3）时，无解；
或时，两解；
，三解；
，四解。